Soal Relasi Komposisi dan Invers

 contoh soal berikut

1. Jika f(x) = 2x² + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)

Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x²+1) = 2x²+1 + 2 = 2x²+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)² + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)² +1 = 2 (x²+4x+4) +1 = 2x² + 8x +8 + 1 = 2x² + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)² + 8(3) + 9 = 51

2. Tentukan invers dari fungsi  f(x) = 5x – 15

Pembahasan

f(x) = 5x – 15

misal y = 5x – 15

5x = y + 15

x = 1/5y + 3

f ^-1(y) = 1/5y + 3 atau f ^-1(x)= 1/5x + 3

3. Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f^-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f^-1(x) = -5x +3 / 4x – 2
Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa sobat kerjakan dengan menggunakan rumus cepat

4. Tentukan invers dari fungsi  f(x) = 4x + 8

Pembahasan

f(x) = 4x + 8

misal y = 4x + 8

4x = y – 8

x = 1/4y – 2

f ^-1(y)= 1/4y – 2 atau  f ^-1(x) = 1/4x – 2

5. Tentukan ivers dari fungsi   f(x) = 2x + 6

Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
dengan demikian f^-1(y) = ½ y – 3 atau f^-1(x) = ½ x – 3

FUNGSI, DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

FUNGSI, DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagaidomain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

Pernyataan Negasi, Implikasi , Tautologi dan Kontradiksi

A. Negasi

Dalam logika matematika , negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar

CONTOH-

P  : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah 9

̴ p : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah bukan 9

Secara umum bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai salah, jika pernyataan awalnya bernilai benar dan akan bernilai benar jika awalanya bernilai salah.

B . Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang di sajikan dalam kata jika…….maka….. Notasi p=> qdibaca jika p.

Biasanya implikasi tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya jika kita mengganti variable x dengan konstanta dalam semesta pembicaraan.

C. Tautologi

Dalam logika matematika tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan. Dapat dibuktikan dalam tabel kebenaran berikut :

D. Kontradiksi

Dalam logika matematika kontadiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran :

contoh soal :

1.Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.

a. p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

b. s : 2 + 2 = 5

c. p : 5 > 3

Jawab :

1. a.

       p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

     ~p : Ibukota Jawa Barat Bukan Surabaya.

       p bernilai S ( salah ) dan ~p bernilai B ( benar )

1. b.

           s : 3 + 6 = 10

       ~s : 3 + 6 ≠ 10

        s bernilai S ( salah ) dan ~s bernilai B ( benar )

1. c. 

           p : 5 > 3  (benar)

           q : 5 adalah bilangan genap  (salah)

          p => q : jika 5>3, maka 5 adalah bilangan genap  (salah)

http://sucilaksmi1704.wordpress.com/materi-smu-kelas-xi/logika-matematika/kalimat-ingkaran-negasi/

http://id.wikipedia.org/wiki/Kontradiksi

http://id.wikipedia.org/wiki/Tautologi_(logika)

Tabel kebenaran

Langsung ke: navigasi, cari

Dalam logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

OPERASI BINARY

Tabel kebenaran untuk semua logikal operasi binary

P	Q		0	1	2	3	4	5	6	7		8	9	10	11	12	13	14	15
T	T		F	F	F	F	F	F	F	F		T	T	T	T	T	T	T	T
T	F		F	F	F	F	T	T	T	T		F	F	F	F	T	T	T	T
F	T		F	F	T	T	F	F	T	T		F	F	T	T	F	F	T	T
F	F		F	T	F	T	F	T	F	T		F	T	F	T	F	T	F	T

dimana T = benar and F = salah.
Kunci:

				Nama operasi
0	Opq	xand	salah	Kontradiksi
1	Xpq	NOR	↓	Logika NOR
2	Mpq	Xq		Nonimplikasi berlawanan
3	Fpq	Np	¬p	Negasi
4	Lpq	Xp	↛	Nonimplikasi
5	Gpq	Nq	¬q	Negasi
6	Jpq	XOR	⊕	Disjungsi eksklusif
7	Dpq	NAND	↑	Logika NAND
8	Kpq	AND	∧	Konjungsi
9	Epq	XNOR	Jika dan hanya jika	Bikondisional
10	Hpq	q		Fungsi proyeksi
11	Cpq	XNp	jika/maka	Implikasi
12	Ipq	p		Fungsi proyeksi
13	Bpq	XNq	maka/jika	Implikasi berlawanan
14	Apq	OR	∨	Disjungsi inklusif
15	Vpq	xnand	true	Tautologi

Logical operators can also be visualized using Venn diagrams.

JENIS-JENIS OPERASI PADA TABEL KEBENARAN

Operasi yang digunakan adalah

1. Negasi

Tabel kebenaran untuk TIDAK p (juga ditulis ¬p, Np, Fpq, or ~p) adalah dibawah ini:

Logika negasi

p	¬p
S	B
B	S

1. Konjungsi

Tabel kebenaran untuk p DAN q (juga ditulis p ∧ q, Kpq, p & q, atau p  q) adalah dibawah ini:

Logika konjungsi

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	s

1. Disjungsi inklusif (sering disebut sebagai disjungsi saja)

Tabel kebenaran untuk p ATAU q (juga ditulis p ∨ q, Apq, p || q, or p + q) adalah dibawah ini:

Logika Disjungsi

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

1. Kesamaan

Tabel kebenaran untuk p XNOR q (juga ditulis p ↔ q, Epq, p = q, or p ≡ q) adalah dibawah ini:

Logika kesamaan

p	q	p ≡ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

1. Disjungsi eksklusif

Tabel kebenaran untuk p XOR q (juga ditulis p ⊕ q, Jpq, or p ≠ q) adalah dibawah ini:

Disjungsi eksklusif

p	q	p ⊕ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

1. Implikasi

1. Biimplikasi

Jumlah kemungkinan hasil adalah , dimana n adalah jumlah pernyataan dasar yang ada (p, q, r, dsb). Namun, p dan ~p (negasi p) tidak dihitung sebagai pernyataan yang berbeda.

Soal Diagram Venn

Contoh Soal 1

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

Jawab:

Kita gunakan diagram ven untuk menjawab soal tersebut. Jika kita gambarkan dengan diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.

Contoh Soal 2

Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.

a. jumlah semua anak remaja

b. jumlah remaja yang suka susu saja

c. jumlah remaja yang suka kopi saja

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya

Jawab:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka.

a. jumlah semua anak remaja = 33 orang

b. jumlah remaja yang suka susu saja = 13  orang

c. jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang

Contoh Soal 3

Hasil survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyukai kopi, 14 orang menyukai susu, 8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.

Jawab:

Diagram Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6 orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang  dan tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.

Contoh Soal 4

Jika diketahui banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 adalah 75 orang. Di antara kepala keluarga ini yang berlangganan koran ada 50 orang, yang berlangganan majalah ada 25 orang, yang berlangganan majalah dan koran ada 10 orang. Dengan menggunakan bantuan diagram Venn, tentukan banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidak berlangganan keduanya!

Jawab:

Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Berdasarkan gambar diagram venn di atas maka banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidak berlangganan keduanya ada 10 orang.

Contoh Soal 5

Perhatikan diagram Venn berikut.

Misalkan S = Himpunan siswa di kelasmu

M= Himpunan siswa yang menyukai matematika

B = Himpunan siswa yang menyukai bahasa Inggris

K = Himpunan siswa yang menyukai kesenian

Jika setiap siswa diwakili oleh sebuah titik, maka tentukan:

a. berapa orang siswa yang menyukai matematika?

b. berapa orang siswa yang menyukai matematika dan kesenian?

c. berapa orang yang menyukai bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian?

d. berapa orang siswa yang menyukai ketiga-tiganya?

e. berapa orang yang hanya menyukai kesenian saja?

f. berapa orang yang menyukai matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian?

g. berapa orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya?

h. berapa orang yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut?

Jawab:

a. siswa yang menyukai matematika ada 7 orang (daerah yang diarsir cokelat merupakan daerah yang suka matematika), seperti gambar berikut ini.

b. Siswa yang menyukai menyukai matematika dan kesenian ada 1 orang (daerah yang diarsir biru merupakan daerah yang suka matematika dan kesenian) seperti gambar berikut ini.

c. Siswa yang menyukai menyukai bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian ada 5 orang (daerah yang diarsir kuning merupakan daerah yang suka bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian) seperti gambar berikut ini.

d. Siswa yang menyukai ketiga-tiganya ada 1 orang (daerah yang diarsir merah merupakan daerah yang suka ketiga-tiganya), seperti gambar berikut ini.

e. Siswa yang menyukai kesenian saja ada 2 orang (daerah yang diarsir merah muda merupakan daerah yang suka kesenian saja), seperti gambar berikut ini.

f. Siswa yang menyukai menyukai matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian ada 8 orang (daerah yang diarsir hijau merupakan daerah yang suka matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian) seperti gambar berikut ini.

g. orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya ada 8 orang (yang berada di luar lingkaran merupakan daerah yang tidak suka ketiga-tiganya)

h. Jumlah orang yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut ada 8 orang (daerah yang diarsir merah tua merupakan daerah yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut) seperti gambar berikut ini.

Demikian beberapa contoh soal dan pembahasannya tentang diagram venn. Semoga soal ini mampu meningkatkan pemahaman anda mengenai cara membaca diagram venn.